"С вторым" или "со вторым" - как правильно писать?

Чтобы понять, какой из вариантов будет верным, стоит обратиться к правилам русского языка. Согласно этим правилам, для плавного и верного произношения предлог "с", обычно использующийся перед цифрами, превращается в "со", когда последующее после него слово является числительным. В вашем варианте слово подходит под вариант с числительным, и потому верным способом написания будет "со вторым".

Я, как преподаватель русского языка, хотела бы возразить.

Буква О добавляется к предлогу С для простоты произношения, если предлог, по правилам русского языка, используется с такими словами, которые начинаются на две согласные буквы: со мной, со стола, со слезами...  Это стало уже общепринятым правилом.