Рыбачут или рыбачат - как правильно писать и почему?

Тут играет главную роль множественное и единственное число. Оба варианты правильные (якобы), смотря в какой форме глаголом пользоваться. 

Если в единственном числе: мужчина любит рыбачить у озера.

А если во множественном числе: мои соседи, друзья рыбачат у причала моря. 

Но в грамматике "рыбачут" является не правильной формой, и нарушает правило русского языка.

Правильно будет "рыбачат", так как это глагол первого спряжения в форме 3-го лица лица и во множественном числе. А по правилам русского языка при таких условиях окончание будет -ат-, -ят-. Например, строят, учат.