Какое написание правильное: "безыдейный" или "безидейный"?

Правильным написанием будет "безыдейный".

Согласно нашим правилам русской орфографии, после тех приставок, оканчивающихся на согласную, к примеру эти приставки, "без", "раз", "вз", перед гласной "и" пишется гласная буква "ы". Например: безыдейный, безыскусный. Исключением только составляют слова конечно же с иноязычными приставками ("дез", "контр"): "дезинформация" или же "контригра". И поэтому "безыдейный" является правильным вариантом по правилам русского языка.