Как правильно пишется: "межинститутский" или "межынститутский"?

Приставки имеют значение. Важно понимать, что является приставкой и что она ставиться в основном впереди корневой системы слова. Иногда встречаются слова с двойными приставками, но однозначно редко и они являются не столь распространенными. В настоящем случае никогда не будет  после приставки "меж" начинаться корень на "ы". Не начинаются и не меняются после соединения двух частей слова начальные буквы корня в априори. Никогда слово Институтский не сможет начинаться на такую неудобную и писаться как Ынститутский. Даже програма Ворда спешит подсказать и исправить положение, если писатель заметит. Приставка в слове непосредственно только подставляется к основному слову. в нашему случае ИНСТИТУТ и оно не имеет свойство меняться, значит ответ имеется в первой части самого вопроса и правильным будет писать "межинститутский".

Правильным вариантом написания слова является "межинститутский".

Дело в том, что если провести морфемный разбор, мы поймем: "меж" является приставкой, а корнем слова является "институт". По правилам русского языка, если корень слова начинается с гласной буквы "и" и перед ней должны стоять префиксы: "контр-", "дер-", "сверх-" или "меж-" первая буква корня сохраняется как есть. Таким образом, написание буквы "ы" после приставки в этом случае недопустимо.