Может ли монитор сломаться, если его каждую ночь отключать, нажав кнопку внизу?

Резкое отключение питания любой электроники, включая мониторы, не сказать чтобы прям полезно. Со временем будет сказываться на ресурсе компонентов. Не уверен, что прямая связь с твоей ситуацией, но такой момент есть. В принципе, для этого давно есть решение - сетевой фильтр (пилот), который обесточивает всё, к нему подключённое, плюс ко всему, защищает электронику от возможных скачков напряжения в сети, беря нагрузку на себя. Ну и старайтесь, чтобы в одну розетку не было подключено много потребителей, лучше лимитировать по 1000 ватт потребления в одном месте, особенно, если проводка у вас от застройщика, к примеру, алюминиевая, которая, как правило так себе ввиду подверженности коррозии и в целом нестабильна, а не заменённая на более износостойкую медь с оптимальным сечением жилы, снижающим нагрузку на массу линии.